Les Équations de Maxwell, avec une description de la façon dont le champ électrique E{\displaystyle {\mathbf {E} }} et le champ magnétique B{\displaystyle {\mathbf {B} }} interagir, également de prédire la vitesse de la lumière, de la lumière est une onde électromagnétique. Ainsi, le but ici est d'obtenir une équation d'onde.
les Étapes
1
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@@Commencer avec les Équations de Maxwell dans le vide. Dans le vide, la densité de charge ?=0{\displaystyle \rho =0} et de la densité de courant J=0.{\displaystyle {\mathbf {J} }=0.}
- ?·E=0?·B=0?×E=-?B?t?×B=µ0?0?E?t{\displaystyle {\begin{aligné}\nabla \cdot {\mathbf {E} } & =0\\\nabla \cdot {\mathbf {B} } & =0\\\nabla \times {\mathbf {E} } & =-{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\\\nabla \times {\mathbf {B} } & =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial t}}\end{aligné}}}
- où µ0{\displaystyle \mu _{0}} est la perméabilité magnétique constant et d' ?0{\displaystyle \epsilon _{0}} est le de la permittivité électrique constante. L'imbrication entre les champs électrique et magnétique est en plein écran ici.
2
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@@Prendre la boucle des deux côtés de la Loi de Faraday.
- ?×(?×E)=?×-?B?t=-??t(?×B){\displaystyle {\begin{aligné}\nabla \times (\nabla \times {\mathbf {E} }) & =\nabla \times -{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\\ & =-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\mathbf {B} })\end{aligné}}}
- Note que les dérivées partielles de commuer les uns avec les autres, étant donné le bon comportement de fonctions.
3
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@@Substituer l'Ampère-Maxwell Loi.
- Utilisation de la BAC-CABINE identité ?×(?×E)=?(?·E)-?2E{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\mathbf {E} })=\nabla (\nabla \cdot {\mathbf {E} })-\nabla ^{2}{\mathbf {E} }} sur le côté gauche et en reconnaissant qu' ?·E=0,{\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {E} }=0,}
- ?(?·E)-?2E=-µ0?0?2E?t2?2E=µ0?0?2E?t2.{\displaystyle {\begin{aligné}\nabla (\nabla \cdot {\mathbf {E} })-\nabla ^{2}{\mathbf {E} } & =-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E} }}{\partial t^{2}}}\\\nabla ^{2}{\mathbf {E} } & =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E} }}{\partial t^{2}}}.\end{aligné}}}
- L'équation ci-dessus est l'équation d'onde en trois dimensions.
4
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@@Réécrire l'équation d'onde à une dimension.
- ?2E?x2=µ0?0?2E?t2.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E}{\partial x^{2}}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}.}
- La solution générale de cette équation est f(x-vt) g(x vt),{\displaystyle f(x-vt) g(x vt)} v{\displaystyle v} est la vitesse et de l' ?{\displaystyle \lambda } est la longueur d'onde. Ici, f{\displaystyle f} g{\displaystyle g} sont deux fonctions arbitraires qui décrivent une onde se propageant dans le positif et le négatif, les directions, respectivement. Puisque c'est assez général, nous pouvons opter pour la solution la plus courante de seulement une fonction sinusoïdale de voyager dans la direction de propagation. Nous pouvons donc écrire la solution E=E0sin(2p?(x-vt)),{\displaystyle E=E_{0}\sin \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right),} où E0{\displaystyle E_{0}} est l'amplitude du champ électrique (cette quantité s'annule plus tard).
5
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@@deux fois de se différencier de la solution par rapport à x{\displaystyle x} t{\displaystyle t}.
- ?2E?x2=-E0(2p?)2sin(2p?(x-vt))?2E?t2=-E0(2les pv?)2sin(2p?(x-vt)){\displaystyle {\begin{aligné}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial x^{2}}} & =-E_{0}\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}\sin \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)\\{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}} & =-E_{0}\left({\frac {2\pi v}{\lambda }}\right)^{2}\sin \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)\end{aligné}}}
6
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@@Substituer ces équations en arrière dans l'équation d'onde. Notez que le péché{\displaystyle \sin } expressions annuler.
- -E0(2p?)2=µ0?0[-E0(2les pv?)2]1=µ0?0v2{\displaystyle {\begin{aligné}-E_{0}\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2} & =\mu _{0}\epsilon _{0}\left[-E_{0}\left({\frac {2\pi v}{\lambda }}\right)^{2}\right]\\1 & =\mu _{0}\epsilon _{0}v^{2}\end{aligné}}}
7
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@@Arriver à la réponse.
- v=1µ0?03×108 m s-1.{\displaystyle v={\sqrt {\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}}\approx 3\times 10^{8}{\text{ m s}}^{-1}.}
- L'expression sur le droit qui se passe à l'égalité de la vitesse de la lumière. Par conséquent, la lumière n'est pas seulement de voyager à la vitesse des ondes électromagnétiques, c'est une onde électromagnétique.
Comment calculer la Vitesse de la Lumiere a partir des Equations de Maxwell
Les Equations de Maxwell, avec une description de la façon dont le champ electrique E{\displaystyle {\mathbf {E} }} et le champ magnetique B{\displaystyle {\mathbf {B} }} interagir, egalement de predire la vitesse de la lumiere, de la lumiere est une onde electromagnetique. Ainsi, le but ici est d'obtenir une equation d'onde.
les Etapes
1
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@@Commencer avec les Equations de Maxwell dans le vide. Dans le vide, la densite de charge ?=0{\displaystyle \rho =0} et de la densite de courant J=0.{\displaystyle {\mathbf {J} }=0.}
- ?·E=0?·B=0?×E=-?B?t?×B=µ0?0?E?t{\displaystyle {\begin{aligne}\nabla \cdot {\mathbf {E} } & =0\\\nabla \cdot {\mathbf {B} } & =0\\\nabla \times {\mathbf {E} } & =-{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\\\nabla \times {\mathbf {B} } & =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial t}}\end{aligne}}}
- ou µ0{\displaystyle \mu _{0}} est la permeabilite magnetique constant et d' ?0{\displaystyle \epsilon _{0}} est le de la permittivite electrique constante. L'imbrication entre les champs electrique et magnetique est en plein ecran ici.
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@@Prendre la boucle des deux cotes de la Loi de Faraday.
- ?×(?×E)=?×-?B?t=-??t(?×B){\displaystyle {\begin{aligne}\nabla \times (\nabla \times {\mathbf {E} }) & =\nabla \times -{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\\ & =-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\mathbf {B} })\end{aligne}}}
- Note que les derivees partielles de commuer les uns avec les autres, etant donne le bon comportement de fonctions.
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@@Substituer l'Ampere-Maxwell Loi.
- Utilisation de la BAC-CABINE identite ?×(?×E)=?(?·E)-?2E{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\mathbf {E} })=\nabla (\nabla \cdot {\mathbf {E} })-\nabla ^{2}{\mathbf {E} }} sur le cote gauche et en reconnaissant qu' ?·E=0,{\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {E} }=0,}
- ?(?·E)-?2E=-µ0?0?2E?t2?2E=µ0?0?2E?t2.{\displaystyle {\begin{aligne}\nabla (\nabla \cdot {\mathbf {E} })-\nabla ^{2}{\mathbf {E} } & =-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E} }}{\partial t^{2}}}\\\nabla ^{2}{\mathbf {E} } & =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E} }}{\partial t^{2}}}.\end{aligne}}}
- L'equation ci-dessus est l'equation d'onde en trois dimensions.
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@@Reecrire l'equation d'onde a une dimension.
- ?2E?x2=µ0?0?2E?t2.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E}{\partial x^{2}}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}.}
- La solution generale de cette equation est f(x-vt) g(x vt),{\displaystyle f(x-vt) g(x vt)} v{\displaystyle v} est la vitesse et de l' ?{\displaystyle \lambda } est la longueur d'onde. Ici, f{\displaystyle f} g{\displaystyle g} sont deux fonctions arbitraires qui decrivent une onde se propageant dans le positif et le negatif, les directions, respectivement. Puisque c'est assez general, nous pouvons opter pour la solution la plus courante de seulement une fonction sinusoïdale de voyager dans la direction de propagation. Nous pouvons donc ecrire la solution E=E0sin(2p?(x-vt)),{\displaystyle E=E_{0}\sin \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right),} ou E0{\displaystyle E_{0}} est l'amplitude du champ electrique (cette quantite s'annule plus tard).
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@@deux fois de se differencier de la solution par rapport a x{\displaystyle x} t{\displaystyle t}.
- ?2E?x2=-E0(2p?)2sin(2p?(x-vt))?2E?t2=-E0(2les pv?)2sin(2p?(x-vt)){\displaystyle {\begin{aligne}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial x^{2}}} & =-E_{0}\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}\sin \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)\\{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}} & =-E_{0}\left({\frac {2\pi v}{\lambda }}\right)^{2}\sin \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)\end{aligne}}}
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@@Substituer ces equations en arriere dans l'equation d'onde. Notez que le peche{\displaystyle \sin } expressions annuler.
- -E0(2p?)2=µ0?0[-E0(2les pv?)2]1=µ0?0v2{\displaystyle {\begin{aligne}-E_{0}\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2} & =\mu _{0}\epsilon _{0}\left[-E_{0}\left({\frac {2\pi v}{\lambda }}\right)^{2}\right]\\1 & =\mu _{0}\epsilon _{0}v^{2}\end{aligne}}}
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@@Arriver a la reponse.
- v=1µ0?03×108 m s-1.{\displaystyle v={\sqrt {\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}}\approx 3\times 10^{8}{\text{ m s}}^{-1}.}
- L'expression sur le droit qui se passe a l'egalite de la vitesse de la lumiere. Par consequent, la lumiere n'est pas seulement de voyager a la vitesse des ondes electromagnetiques, c'est une onde electromagnetique.
Comment calculer la Vitesse de la Lumière à partir des Équations de Maxwell
By commentfaire
Les Équations de Maxwell, avec une description de la façon dont le champ électrique E{\displaystyle {\mathbf {E} }} et le champ magnétique B{\displaystyle {\mathbf {B} }} interagir, également de prédire la vitesse de la lumière, de la lumière est une onde électromagnétique. Ainsi, le but ici est d'obtenir une équation d'onde.
